Si hacemos esta pregunta a un determinado número de personas elegidas al azar probablemente nos responderán que son «el estudio de los números» o «la ciencia que estudia los números». Tremendo error que aún se sigue arrastrando, ya que esto era así hace 2500 años, pero no hoy.
Por ponernos en contexto, los egipcios y babilonios: hacia el 500 a.C. utilizaban una aritmética y una geometría muy básica que es la que casi vendría a encajar con la definición anterior.
Los griegos (del 500 a. C. al 300 d.C.) ya consideraron las matemáticas como objeto de estudio en sí mismo, en concreto Thales de Mileto ya introdujo la idea de que afirmaciones matemáticas expresadas de forma precisa podían ser demostradas lógicamente mediante una argumentación formal. Esta, llamémosle innovación de la época, implicó el nacimiento del teorema que es el fundamento de las matemáticas (un teorema es una verdad absoluta).
Desde entonces en matemáticas no se da un paso sin demostrarlo basándonos en el conocimiento que tenemos de demostraciones previas (teoremas, corolarios o lemas).
Una demostración matemática es una certeza absoluta mantenible en el tiempo -para siempre. La fuerza de esto es «brutal» porque podemos asegurar que cualquier cosa demostrada en matemáticas es absolutamente cierta.
Las matemáticas son y serán siempre las mismas. Son eternas.
En la mayoría de las ciencias, una generación derriba y cambia para mejorar el «edificio» que otra ha construido. Solo en las matemáticas cada generación añade un nuevo piso al edificio existente.
¿Qué hacen a día de hoy los matemáticos?
Lo que hoy en día hacen los matemáticos es estudiar estructuras que pueden ser «abstractas», numéricas, de movimiento (cálculo diferencial), de comportamiento (ecuaciones diferenciales), etc. Podemos llamarlo estructuras o llamarlo patrones o modelos y los matemáticos demuestran que esos patrones son ciertos.
Una particularidad de las matemáticas es el uso de notación abstracta (registro matemático), lo cual ya es un reflejo de la naturaleza abstracta de lo que estas estudian.
$$\forall\exists\Rightarrow\land\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int\frac{df}{dx}\lim_{x\to \infty}\not\in\supseteq\emptyset \text{…}$$
Para poder representar la realidad nos ayudamos de distintos tipos de representación, así para poder representar un terreno nos ayudamos de mapas, para representar música utilizamos la notación musical, etc. pues para representar estructuras y patrones abstractos utilizamos la notación matemática.
La propiedad conmutativa podemos describirla así:
«Cuando se suman dos números no importa el orden»
Esto es un ejemplo muy tonto ya que, en la práctica, la complejidad de las estructuras matemáticas es tal que, si no utilizásemos la notación simbólica, sería prácticamente imposible poder trabajar por lo engorroso que esto sería. Los griegos ya conocían algunas identidades notables como:
$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab $$
Que si no se representasen con simbología matemática habría que expresarlo así: «Si un segmento se corta en un punto cualquiera, el cuadrado del segmento total es igual a los cuadrados de los segmentos resultantes más dos veces el rectángulo formado por estos últimos».
Simplemente en álgebra el tener que proponer la resolución de una ecuación sencilla sin la simbología matemática sería «un infierno»
$$x^5-7x^4+3x-1=0$$
El poder trabajar con símbolos de una forma abstracta, nos permite además generalizar las ideas y dar un sentido global a las cosas tratadas.
Pero ¡ojo!, la notación matemática no son exclusivamente las matemáticas en sí, igual que la notación musical no es la música en sí, la música en sí es lo que se obtiene cuando alguien competente interpreta esas notas impresas en un instrumento musical, o cuando alguien leyendo las notas puede interpretar la música en su cabeza, pues lo mismo pasa con las matemáticas, los símbolos en un folio son una representación de las matemáticas que toman vida al ser interpretados por alguien con el conocimiento necesario.
Pasa por ejemplo con las derivadas, el interpretar que una derivada positiva significa que la función crece y lo que eso significa eso son las matemáticas. Si la función crece y no ha llegado a su máximo entonces sigo invirtiendo dinero en el proyecto X, o lo que sea.
Las matemáticas únicamente se pueden «ver» con los ojos de la mente, de ahí la relación entre matemáticas y abstracción. Hoy en día con los ordenadores, una parte pequeña de las matemáticas se presta a poder verse de forma visual, lo cual está genial y ha proporcionado grandes avances en matemáticas. El software GeoGebra está muy bien para ayudar a «ver» las matemáticas.
Sin símbolos matemáticos la mayor parte de las matemáticas no existirían.
Si por ejemplo, en lugar de emplear el símbolo 7 para representar al número siete, decidimos sustituirlo por la letra «m» para indicar un número entero arbitrario, esto nos hace ya trabajar, pensar y poder manipular el concepto de número entero en general, de una forma abstracta que es lo que se hace en matemáticas (estudiar patrones).
Decir que las matemáticas serían más sencillas si no se utilizase su notación es como decir que la poesía de Juan Ramón Jiménez sería más fácil de entender si estuviese escrita en un lenguaje más llano.
¿Qué es lo que aportan las matemáticas al estudio de un fenómeno?
Las matemáticas convierten lo invisible en visible.
Sin matemáticas no hay forma de entender que es lo que mantiene un avión de gran tamaño en el aire. Se necesitan matemáticas para «ver» que es lo que le sostiene. Lo que nos permite ver lo invisible es la ecuación del matemático Daniel Bernoulli.
¿Cuál es la causa de que al soltar una manzana esta caiga al suelo?, «la gravedad» sí, cierto, pero eso es solo darle nombre a un fenómeno y no nos ayuda a entenderlo, lo que nos ayuda a entenderlo, a «verlo» son las ecuaciones de Newton. Las matemáticas de Newton nos permiten «ver» las fuerzas invisibles que hace que la manzana se caiga.
Como las matemáticas están construidas teorema sobre teorema (verdades absolutas), piedra sobre piedra, aunque no lo sepamos ver (por ejemplo, algo en cuatro dimensiones), tenemos la certeza de que, si ha sido demostrado en matemáticas, entonces es cierto.
«Las matemáticas son la llave abstracta que abre la cerradura del universo físico» (John Polkinhorne. Físico teórico. Cátedra de física en Cambridge)
Un profesor podría entrar un día en su clase y decir «chicos, todo lo que vamos a hablar en clase es absolutamente cierto» sin temor a equivocarse.
Cuando un matemático verifica que algo se da para los 100 primeros casos (por ejemplo), su siguiente pregunta es si se da siempre, si lo observado es indicación de una estructura general, de un modelo o patrón, ninguna comprobación por ordenador, por extensa que sea, puede responder a esta cuestión, si con un ordenador lo verificamos en un millón de casos, naturalmente esta evidencia nos hace sospechar que detrás de ello hay una estructura general, pero hay que demostrarlo para que el «edificio de las matemáticas» siga teniendo una base completamente sólida.
A veces, el verificar algo para los 5000 primeros casos puede valer para algunas aplicaciones, si es así perfecto, será suficiente usar un ordenador para verificar esos 5000 casos.
Inutilidad de las matemáticas
Mucha gente ve una gran parte de las matemáticas como algo sin aplicación práctica y como un ejercicio mental abstracto e «inútil». La historia ha demostrado en sucesivas ocasiones lo erróneo de esta forma de pensar, gracias a estas ideas, en un principio sin aparente utilidad es a lo que en gran cantidad de ocasiones han avanzado la ciencia y la tecnología.
Cuando hace dos mil años los matemáticos de antaño estudiaron las secciones cónicas (Apolonio), ¿cómo se podrían haber imaginado que hoy en día, esas curvas desempeñan un papel fundamental en astronomía?
Un ejemplo clarísimo es el de los números complejos o imaginarios (a+bi) C, durante muchos siglos fue considerado como un conjunto de números en matemáticas sin utilidad práctica fuera de estas, pues bien, ha resultado ser la única forma de representar los fenómenos eléctricos de corrientes alternas.
El mismo Einstein para demostrar que el universo estaba curvado y no era plano como se suponía hasta entonces y que funcionase su teoría de la relatividad en sistemas no inerciales, tuvo que basarse y «confiar» en la geometría «curva» del matemático alemán Bernhard Riemann publicada unos pocos años antes y sin la cual, sus teorías no se sostendrían. La geometría de Riemann no es sencilla, ni siquiera para un genio como Einstein, pero ahí estaban las matemáticas para ayudarle. Y volvemos al principio, las matemáticas que en el momento de su aparición pueden parecer poco útiles, terminan siendo esenciales a medida que vamos descubriendo cosas en otras ciencias. Galileo dijo una vez que las matemáticas son el faro de luz que hacen que no estemos dando vueltas en un oscuro laberinto.
Juanjo Bravo